Знайдіть такі значення k, при яких рівняння x2(в квадраті) — 2kx + 2k +3 = 0 має тільки один корінь. Як вирішити?
Відповідей: 2
Знайдіть такі значення k, при яких рівняння x2(в квадраті) — 2kx + 2k +3 = 0 має тільки один корінь. Як вирішити?
Ось ваше алгебраїчне рівняння 2-го ступеня
х2 – 2kx + 2k + 3 = 0 (1)
Треба знайти коріння цього рівняння. У загальному випадку алгебраїчне рівняння другого порядку має вигляд
ах2 + bx + c = 0 (2)
Порівнюючи з (1) знаходимо
а = 1, b = –2k, c = 2k + 3.
Нехай х1 і х2 – корені цього рівняння. Тоді рівняння (2) перетвориться до вигляду
(х – х1)(х – х2) = 0 (3)
насправді будь-яке квадратне алгебраїчне рівняння має 2 корені х1 і х2. Якщо рівняння має тільки 1 корінь, то це означає, що 2 кореня дорівнюють один одному, тобто х1 = х2.
Корені рівняння (2) обчислюються за формулою
x = (–b ± vD)/2а (4)
де D – дискриминант, який обчислюється за формулою
D = b2 – 4ac (5)
Коріння будуть однакові, якщо дискриминант D = 0. Обчислюємо дискриминант (5). D = (–2k)2 – 4•1•(2k + 3) = 4k2 – 4(2k + 3) = 4(k2 – 2k – 3) = 0. Тепер треба вирішити квадратне рівняння
k2 – 2k – 3 = 0 (6)
Порівнюємо (6) і (2). Маємо для рівняння (6) а = 1, b = -2, c = -3. За формулами (4) і (5) знаходимо
D = b2 – 4ac = 4 – 4•1•(-3) = 4 + 12 = 16. vD = 4. З (4) маємо
k = (2 ± 4)/2. Тобто k1 = 3 і k2 = -1.
Отже, ваше рівняння має тільки 1 корінь (точніше 2 однакових кореня) якщо
k1 = 3 і k2 = -1.
Перевірка при бажанні. Ваше рівняння (1) при k1 = 3 набуває вигляду х2 – 6х + 9 = 0. По рівнянню (5) знаходимо дискриминант цього рівняння D = 0. Тобто ваше рівняння при k = 3 дійсно має 1 корінь. При k2 = -1 (1) набуває вигляду х2 + 2х + 1 = 0. Дискриминант і цього рівняння теж дорівнює нулю. Прорахуйте при бажанні. Ваше рівняння і при k2 = -1 має 1 корінь (точніше 2 однакових кореня). Можете знайти при бажанні ці коріння, але в завданні цього немає.
Думаю рівняння має тільки один корінь якщо k=0